Galois teorisi temel teorem, bir Galois alan genişlemesi ile onun Galois grubunun alt grupları arasında ters-sıra koruyan bire-bir bir eşleşme (bijection) olduğunu ifade eder. Bu eşleşme, çok bilinmeyen denklemlerinin çözülebilirliği problemini grup teorisine çevirir. Temel kavramlar: L/K Galois genişlemesi olsun (ayırılabilir ve normal). Galois grubu Gal(L/K), L'nin her K-elemanını sabit tutan otomofrizmlerinin grubudur. Galois teorisi temel teorem iki yönlü bir eşleşme kurar: 1. Her H ≤ Gal(L/K) alt grubu için sabit alan L^H = {x ∈ L : σ(x) = x ∀σ ∈ H} bir ara alan verir: K ⊆ L^H ⊆ L. 2. Her ara alan K ⊆ M ⊆ L için Gal(L/M) bir alt grup verir. Bu iki yön birbirinin tersidir; eşleşme ters-sıra koruyandır: H₁ ≤ H₂ ise L^H₁ ⊇ L^H₂. Boyutsal ilişki: [L : L^H] = |H| ve [L^H : K] = [Gal(L/K) : H]. Normal alt grupların önemi: H ⊲ Gal(L/K) ise L^H / K de Galois genişlemesidir ve Gal(L^H / K) ≅ Gal(L/K) / H. Bu, alanlar ve gruplar arasındaki normallik kavramlarının birebir karşılıklığını gösterir. Galois teorisi temel teorem uygulamaları açısından en çarpıcı örnek: derecesi beş veya daha yüksek olan genel polinom denklemleri kök radikali (root extraction) ile çözülemez. Abel-Ruffini teoremi, Galois grubunun çözülür (solvable) olmamasını kök radikali ile çözülemezliğe bağlar. S₅ (5 elemanlı permütasyon grubu) çözülür değildir çünkü tek normal alt grubu A₅'tir ve A₅ basit (simple) gruptur, yani kendi ve trivial dışında normal alt grubu yoktur.