Riemann eğriliği tensörü, bir manifoldun ne ölçüde eğri olduğunu kodlayan temel geometrik nesnedir. Düz bir uzayda paralel taşınan bir vektör başlangıç noktasına döndüğünde değişmeden gelir; eğri bir uzayda ise kapalı bir çevrim boyunca taşınan vektör döndüğünde döndürülmüş olabilir. Riemann eğriliği tensörü tam olarak bu dönüşü ölçer. Formel tanım kovaryant türev operatörü ∇ üzerinden verilir: `R(X,Y)Z = ∇_X ∇_Y Z - ∇_Y ∇_X Z - ∇_{[X,Y]} Z`. Yerel koordinatlarda Riemann eğriliği tensörünün bileşenleri `R^ρ_{σμν}` olarak gösterilir ve Christoffel sembolleri Γ ile şu şekilde ifade edilir: `R^ρ_{σμν} = ∂_μ Γ^ρ_{νσ} - ∂_ν Γ^ρ_{μσ} + Γ^ρ_{μλ} Γ^λ_{νσ} - Γ^ρ_{νλ} Γ^λ_{μσ}`. n-boyutlu bir manifoldda tensörün bileşen sayısı n⁴'tür; ancak simetriler bu sayıyı önemli ölçüde azaltır. Riemann eğriliği tensörünün Bianchi özdeşlikleri analiz açısından iki ayrı özdeşlik öne çıkar. Birinci (cebirsel) Bianchi özdeşliği: `R_{ρσμν} + R_{ρμνσ} + R_{ρνσμ} = 0`. Bu özdeşlik, tensörün antisimetri ve döngüsel simetri özelliklerini toplar ve bağımsız bileşen sayısını n²(n²-1)/12'ye indirir; 4 boyutta bu 20 bileşene karşılık gelir. İkinci (diferansiyel) Bianchi özdeşliği: `∇_λ R_{ρσμν} + ∇_ρ R_{σλμν} + ∇_σ R_{λρμν} = 0`. Bu özdeşlik, üzeri kapatılmış indisler üzerinde iz (trace) alındığında Einstein tensörü `G_{μν} = R_{μν} - (1/2) g_{μν} R` elde edilir. Buradaki `∇^μ G_{μν} = 0`, Einstein tensörünün kovaryant korunumu, genel görelilikte enerji-momentum tensörünün ∇^μ T_{μν} = 0 korunumuna denk düşer ve geometri ile madde arasındaki dinamik tutarlılığı sağlar. Pratik hesaplama açısından Riemann eğriliği tensörünün tüm bileşenlerini elle hesaplamak genellikle pratik değildir; Ricci skaleri R ve Weyl konformal tensörü gibi daha özlü büyüklükler kullanılır. Bianchi özdeşlikleri ise hem analitik hem de sayısal genel görelilik hesaplamalarında kısıt denklemleri olarak görev yapar.