Modüler formlar Hecke operatörleri ilişkisi, modern sayı teorisinin en zengin bağlantı noktalarından birini oluşturur. Modüler formlar, üst yarı düzlem üzerinde belirli koşulları, yarıperiyodisite, holomorfluğu ve sonsuzda düzgünlüğü, sağlayan karmaşık değerli fonksiyonlardır. Hecke operatörleri ise bu fonksiyonlar üzerindeki belirli doğrusal dönüşümler olup aralarındaki cebirsel yapı, Galois temsilleri ve L-fonksiyonları ile derin bağlar kurar. k ağırlıklı SL₂(ℤ) modüler formları uzayını S_k ile gösterelim. Asal sayı p için Hecke operatörü T(p), `(T(p)f)(τ) = p^{k-1} f(pτ) + (1/p) Σ_{j=0}^{p-1} f((τ+j)/p)` formülüyle tanımlanır. Bu dönüşüm kümülatif bir özelliklere sahiptir: T(m) ve T(n) operatörleri gcd(m,n)=1 ise komütatiftir; asal güçler için ise `T(p^{r+1}) = T(p)T(p^r) - p^{k-1} T(p^{r-1})` özyinelemesi sağlanır. Bu komütatiflik, modüler formlar Hecke operatörleri yapısının cebirsel özünü oluşturur: Hecke operatörleri bir kommütatif cebir meydana getirir ve S_k üzerinde eş zamanlı köşegenleştirilir. Hecke özformu (Hecke eigenform), tüm T(n) operatörlerinin özdizimi olan bir f ∈ S_k formudur: `T(n)f = λ(n)f`. Bu özellik, f'nin Fourier katsayılarını, `f(τ) = Σ_{n≥1} a(n) q^n`, q = e^{2πiτ}, Hecke özdeğerleriyle ilişkilendirir: `a(n) = a(1)λ(n)`. Dolayısıyla Fourier katsayıları bir aritmetik fonksiyon oluşturur. Modüler formlar Hecke operatörleri ilişkisinin sayı teorisine en köklü katkısı, Langlands programı çerçevesinde belirir. Ağırlık k ve düzey N'de bir normalize Hecke özformu, GL₂ üzerindeki bir otomorfik formu temsil eder ve onunla ilişkili bir L-fonksiyonu `L(s, f) = Σ a(n)/n^s` üretir. Euler çarpımı `L(s,f) = Π_p 1/(1 - a(p)p^{-s} + p^{k-1-2s})` Hecke operatörlerinin komütatifliğinden gelir. Shimura-Taniyama-Weil konjektürü, sonradan Taylor-Wiles teoremi, eliptik eğrilerin modüler olduğunu, yani L-fonksiyonlarının bir modüler form ile özdeşleştiğini öne sürer; bu Fermat'ın son teoreminin kanıtındaki anahtar adımdır.