Spektral teorem Hilbert uzayı bağlamında, simetrik (veya öz-eşlenik) matrisin köşegenleştirilmesi fikrinin sonsuz boyutlu uzaylara genişletilmesidir. Sonlu boyutlu lineer cebirin temel sonuçlarından biri, her simetrik matrisin reel özdeğerlere sahip olduğu ve özdizimlerin ortogonal bir baz oluşturduğudur. Hilbert uzayına geçişte bu sonuç kapsamlı biçimde genelleştirilir; ancak sonsuz boyut teknik güçlükler getirir. Spektral teorem Hilbert uzayı bağlamında iki kategoride formüle edilir. Sınırlı normal operatörler için, yani `T*T = TT*` koşulunu sağlayan operatörler, teorem, bir spektral ölçü (spectral measure) E varlığını garanti eder: `T = ∫_σ(T) λ dE(λ)`. Burada integral, T'nin spektrumu σ(T) üzerinde yürütülen bir Lebesgue-Stieltjes integralidir ve E(Δ) her Borel kümesi Δ için bir ortogonal projeksiyon operatörüdür. Öz-eşlenik (self-adjoint) sınırlı olmayan operatörler için spektral teorem Hilbert uzayı formülasyonu çok daha ince bir yapı gerektirir. Von Neumann teorisi çerçevesinde, operatörün öz-eşlenik genişlemesinin (self-adjoint extension) varlığı kaynaktaki deficiency index'lere bağlıdır. Kuantum mekaniğindeki Hamiltonian, momentum ve konum operatörleri bu sınıfa girer; sınırsız bir Hilbert uzayında tanımlı oldukları ancak yoğun bir alt uzay üzerinde işlev gördükleri için dikkatli bir alan analizi gerektirir. Uygulama açısından bakıldığında spektral teorem Hilbert uzayı bağlamında fizikteki bağlantısı doğruktur: kuantum mekaniğinde bir gözlemlenebilirin (observable) ölçüm sonuçları, karşılık gelen öz-eşlenik operatörün spektrumunu oluşturur. Ayrık spektrum noktasal özdeğerlere, sürekli spektrum ise özfonksiyon genişlemesine karşılık gelir. Fonksiyonel kalkülüs spektral teoremin pratik bir uzantısıdır: T'nin spektrumu üzerinde tanımlı herhangi bir Borel-ölçülebilir f fonksiyonu için `f(T) = ∫_σ(T) f(λ) dE(λ)` yazılabilir. Bu yapı, operatör üstel fonksiyonu `e^{itT}`, kuantum mekaniğindeki zaman evrimi, ve semigroup teorisini tanımlamak için temel araçtır.