Sayılabilir sayılamaz sonsuzluk ayrımı, matematik tarihinin en şaşırtıcı keşiflerinden biridir. Sezgi, tüm sonsuzlukların eşit büyüklükte olduğunu söyler. Georg Cantor ise 19. yüzyılda bunun yanlış olduğunu kanıtladı: bazı sonsuzluklar diğerlerinden "daha büyüktür". Sayılabilir sonsuzluk, doğal sayıların sonsuzluğudur. Bir küme sayılabilir sonsuzsa, elemanları doğal sayılarla bire bir eşleştirilebilir. Tam sayılar, rasyonel sayılar, hatta çift sayılar bu anlamda sayılabilir sonsuzdur. Sayılabilir sayılamaz sonsuzluk kavramı burada sezgiyi zorlayan bir gerçeği ortaya koyar: çift sayıların kümesi, tüm doğal sayıların kümesiyle aynı büyüklüktedir. Cantor'un köşegen argümanı, reel sayıların sayılamaz olduğunu kanıtlar. [0,1] aralığındaki reel sayıların tamamını bir liste yazmaya çalıştığınızı düşünün; Cantor'un yöntemi, bu listede olmayan en az bir reel sayıyı her zaman inşa edebileceğini gösterir. Bu nedenle reel sayıların sonsuzluğu, doğal sayıların sonsuzluğundan "daha büyük"tür. Sayılabilir sayılamaz sonsuzluk ayrımı sonsuzluk hiyerarşisinin kapısını açar. Cantor her sonsuzluktan daha büyük bir sonsuzluk üretilebileceğini gösterdi: güç kümesi (power set) operasyonu. Bir kümenin güç kümesi her zaman kendisinden daha büyük bir kardinaliteye sahiptir. Bu, sonsuz büyüklüklerin tükenmez bir hiyerarşisi anlamına gelir. Devamlılık hipotezi ise bu tartışmada bitmemiş bir bölümdür: sayılabilir sonsuzlukla gerçek sayıların sonsuzluğu arasında başka bir büyüklükte sonsuzluk var mıdır? Gödel ve Cohen bağımsız olarak bu sorunun standart matematik aksiyomları içinde yanıtlanamadığını gösterdi; hipotez, aksiyom olarak kabul edilip edilmemesi tercih meselesidir. Sayılabilir sayılamaz sonsuzluk kavramı, matematiksel sonsuzluğun ne kadar zengin ve karşı-sezgisel bir yapıya sahip olduğunu açıkça ortaya koyar.