Cebirsel topolojide bir uzayın temel grubunu hesaplamak, çoğu zaman uzayı daha basit parçalara bölmek ve bu parçaların temel gruplarını birleştirmek yoluyla gerçekleştirilir. van Kampen teoremi tam olarak bu birleştirmeyi formalize eder ve topolojik cebirde temel grup hesaplama problemlerinin standart çözüm aracına dönüşmüştür. van Kampen teoreminin klasik ifadesi şöyledir: X topolojik uzayı, her biri yol-bağlantılı olan iki açık küme U ve V'nin birleşimi olsun; U ∩ V da yol-bağlantılı olsun ve tüm bu kümeler bir ortak x₀ temel noktasını içersin. Bu durumda π₁(X, x₀) ≅ π₁(U, x₀) *_{π₁(U∩V)} π₁(V, x₀), yani π₁(X) temel grubun pushoutu (serbest çarpımın amalgamasyonu) ile izomorftur. Bu soyut ifadeyi van Kampen teoremi hesaplama örneğiyle somutlaştıralım. n-boyutlu kürenin temel grubunu hesaplamak için Sⁿ'yi üst ve alt iki yarı-küreye bölelim: U ve V. Her iki yarı-küre `Dⁿ` ile homeomorfiktir ve dolayısıyla basit bağlantılıdır, temel grupları triviyaldir. Kesişim U ∩ V ise `Sⁿ⁻¹` ile homeomorfiktir. n ≥ 2 için Sⁿ⁻¹ de basit bağlantılıdır; van Kampen teoremi gereği π₁(Sⁿ) = {e} triviyaldir. n = 1 için Sº (iki nokta) bağlantılı değildir; teorem bu formda uygulanamaz, π₁(S¹) = ℤ doğrudan gösterimle hesaplanır. van Kampen teoremi hesaplama gücü, daha karmaşık uzaylarda belirginleşir. İki halkayı bir noktada yapıştırarak oluşturulan konfigürasyonda, wedge sum S¹ ∨ S¹, her halka için π₁ = ℤ ve kesişim tek noktadır; teorem, π₁(S¹ ∨ S¹) = ℤ * ℤ (serbest grup iki üretecli) sonucunu verir. Bu sonuç, Cayley graph görselleştirmesiyle doğrulabilir. Grupoid versiyonu, temel noktaya bağımlılığı ortadan kaldırır ve birden fazla bağlantı bileşeni olan kesişimler için teoremi genişletir. Bu daha genel form, örtü uzayı teorisiyle birlikte kullanıldığında kapsamlı hesaplama araçları sunar ve van Kampen teoreminin modern cebirsel topoloji ders kitaplarındaki standart formülasyonunu oluşturur.