Dirichlet L-fonksiyonları, aritmetik dizilerdeki asal sayı dağılımını inceleyen sayı teorisinin en güçlü araçlarından birini oluşturur. Bu yapılar Riemann zeta fonksiyonunun doğal genellemesidir ve Dirichlet'nin sonsuz asal sayı teoreminin tam kanıtını olanaklı kılar. Dirichlet karakteri χ, (ℤ/qℤ)* alanında tanımlı çarpımsal, periyodik bir fonksiyondur; q'ya mod karakter olarak adlandırılır. Tam sayılara şöyle uzatılır: (n, q) > 1 ise χ(n) = 0; aksi halde χ(n) = χ(n mod q). Özel durumda χ₀ (baş karakter) q'ya göre q ile aralarında asal tüm tam sayılarda 1 değerini alır. Dirichlet L-fonksiyonu bu karakterle tanımlanır: L(s, χ) = Σ_{n=1}^{∞} χ(n)/n^s Bu seri Re(s) > 1 için mutlak yakınsar. Karakterin çarpımsallığı, L-fonksiyonuna Euler çarpım açılımı kazandırır: L(s, χ) = ∏_{p asal} (1 - χ(p)p^{-s})^{-1} Dirichlet'nin asal sayılar teoremi şöyle ifade edilir: (a, q) = 1 ise, a ≡ a (mod q) koşulunu sağlayan sonsuz asal sayı vardır. Kanıtta kritik adım L(1, χ) ≠ 0'ın gösterilmesidir; bu, baş olmayan Dirichlet L-fonksiyonlarının s = 1'de sıfır olmaması anlamına gelir. Kanıt iskeletinin temelinde log L(s, χ) ile asalların sayımı arasındaki bağ yatar: -L'/L(s, χ) = Σ_{n=1}^{∞} χ(n) Λ(n) n^{-s} Burada Λ von Mangoldt fonksiyonudur. Bu özdeşlik, L-fonksiyonlarının analitik davranışını asal sayı dağılımına bağlar. Genelleştirilmiş Riemann Hipotezi (GRH), tüm Dirichlet L-fonksiyonlarının kritik şerit (0 < Re(s) < 1) içindeki sıfırlarının Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde olduğunu öngörür. Bu hipotez, a mod q dizisindeki ψ(x; q, a) fonksiyonuna çok daha güçlü hata sınırları verir. GRH kanıtlanmamış olmakla birlikte, koşullu sonuçlar ("GRH doğruysa..." biçiminde) sayı teorisinde standal referans noktasıdır. Sieberg-Walfisz teoremi, GRH varsayılmadan elde edilebilen en güçlü koşulsuz sonuçlardan biridir: π(x; q, a) asimptotiği log q ≤ (log x)^A olduğunda düzgün uygulanır. Bu sınır, büyük modüllü karakterler için kaçınılmazlıkla ilişkilidir (Siegel sıfırları problemi).