Doğrusal cebirin iki temel işlemi olan matris çarpımı ve vektör çarpımı, hem tanım hem de uygulama açısından birbirinden belirgin biçimde ayrışır. Matris vektör çarpımı farkı anlaşılmadan doğrusal dönüşümler ve çok boyutlu hesaplamalar tam kavranamaz. Matris çarpımı iki matris arasında tanımlı bir işlemdir. A matrisi m×n, B matrisi n×p boyutlarındaysa AB çarpımı m×p boyutunda bir matris üretir. Kritik kural: ilk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısıyla eşleşmek zorundadır. Çarpım komütatif değildir; AB ≠ BA genel olarak. Matris çarpımı doğrusal dönüşümlerin bileşimiyle doğrudan ilişkilidir: A ve B dönüşüm matrisleriyse AB, önce B sonra A uygulamak anlamına gelir. Matris vektör çarpımı farkı değerlendirilirken vektör çarpımlarına bakmak gerekir. Vektör çarpımları iki temel türe ayrılır: iç çarpım (nokta çarpımı, dot product) ve dış çarpım (çapraz çarpım, cross product). İç çarpım iki vektörün karşılıklı bileşenlerinin çarpımlarının toplamıdır; sonucu bir skalerdır. Dik vektörler için iç çarpım sıfır olur; bu iki vektörün dik olduğunu test etmenin doğrudan yoludur. Dış çarpım ise üç boyutlu uzayda iki vektöre dik olan üçüncü bir vektör üretir; sonucu vektördür. Bu işlem yalnızca R³ (ve R⁷) için tanımlıdır; diğer boyutlarda standart dış çarpım yoktur. Fizik ve mühendislikte tork ve manyetik kuvvet hesaplamalarında dış çarpım merkezi bir rol oynar. Matris vektör çarpımı farkı bağlamında bir başka önemli ayrım: kare matrisin vektörle çarpımı (Ax) aslında doğrusal bir dönüşümdür; bir n-boyutlu vektörü başka bir n-boyutlu vektöre taşır. Özdeğer-özvektör analizi tam olarak bu yapı üzerine kuruludur: Av = λv eşitliği, A matrisinin v vektörünü yalnızca ölçeklendirdiği (yön değiştirmediği) durumu tanımlar. Özetle: matris çarpımı dönüşümleri bileştirir ve sonuç matristir; iç çarpım iki vektör arasındaki projeksiyon ilişkisini ölçer ve sonuç skalerdır; dış çarpım dik yönü üretir ve sonuç vektördür.