Matematikte sayı sistemleri bir kez inşa edilip durdurulan yapılar değildir. Yeni problemlere yanıt arayışı her seferinde sayı sistemini genişletir. Reel kompleks sayı farkı bu genişlemenin en ilgi çekici adımını temsil eder. Reel sayılar, sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları kapsar; rasyonel ve irrasyonel sayılar bu kümeyi oluşturur. Reel sayılar tam olarak sıralıdır; herhangi iki reel sayı için biri diğerinden büyüktür ya da eşittir. Bu sıralama özelliği sezgisel bir temel sağlar. Reel kompleks sayı farkı şu basit ama derin sorudan doğar: x² + 1 = 0 denkleminin reel çözümü yoktur. x² = -1 denklemini tatmin eden reel bir sayı bulunmaz; çünkü herhangi bir reel sayının karesi sıfır ya da pozitiftir. Bu boşluğu doldurmak için i = √(-1) tanımlanır ve kompleks sayılar kümesi C = {a + bi | a, b ∈ ℝ} biçiminde kurulur. Kompleks sayılar reel sayıları kapsar (b = 0 olduğunda a + 0i = a); yani genişleme gerçek anlamda bir üst kümedir. Kompleks sayılar arasında sıralama ilişkisi yoktur; "2+3i < 5+i" ifadesi tanımsızdır. Bu özellik reel kompleks sayı farkının en çarpıcı boyutlarından biridir. Genişlemenin matematiksel kazanımları büyüktür. Temel teorem olarak bilinen sonuç: derecesi n olan her polinom, çoklukları sayılarak tam olarak n kompleks kök içerir. Reel sayılarda bu garanti yoktu; x² + 1 = 0 kökü real alanda bulunamazken kompleks alanda i ve -i çözümleri açıkça yazılabilir. Kompleks sayılar aynı zamanda Euler'in ünlü kimliğini barındırır: eⁱᵖ + 1 = 0. Bu eşitlik beş temel matematiksel sabiti (e, i, π, 1, 0) tek bir ifadede buluşturur ve matematiksel güzelliğin sık alıntılanan örneklerinden biri olarak anılır. Uygulama alanları da son derece geniştir. Elektrik mühendisliğinde AC devre analizi, kuantum mekaniğinde dalga fonksiyonları, sinyal işlemede Fourier dönüşümü kompleks sayıların vazgeçilmez olduğu alanlardır. Reel analiz bile zaman zaman kompleks analizin araçlarına başvurarak kendi problemlerini çözer.