Cauchy integral formülü kompleks analizin merkezinde yer alır. Temel formülü f(z₀) = (1/2πi) ∮ f(z)/(z−z₀) dz şeklinde ifade eder: analitik bir fonksiyonun herhangi bir noktadaki değeri, etrafındaki kontur boyunca bir integral aracılığıyla belirlenir. Cauchy integral formülü türevler için genelleştirildiğinde son derece güçlü bir araç elde edilir. Formülü z₀'a göre türetirsek (contour sabittir, z₀ değişir) ve bu işlemi n kez tekrarlarsak: f^(n)(z₀) = n! / (2πi) ∮ f(z) / (z−z₀)^(n+1) dz Bu formülün iki derin sonucu vardır: 1. Analitik bir fonksiyon sonsuz kez türevlenebilirdir. Reel analizde türevlenebilir ama iki kez türevlenemeyen fonksiyonlar mevcuttur. Kompleks analitikte bu mümkün değildir: bir kez türevlenebilir olmak, tüm derecelerde türevlenebilirliği zorunlu kılar. 2. Taylor serisi kesinlikle yakınsar. f(z) bir D diskinde analitikse, D içindeki her z için Taylor serisi f(z) = Σ f^(n)(z₀)/n! (z−z₀)ⁿ tam olarak yakınsar. Cauchy integral formülü türevler aracılığıyla Taylor katsayıları hesaplanabilir ve yakınsama yarıçapı, z₀'a en yakın singülarite uzaklığı tarafından belirlenir. Liouville teoremi bu genel formülün zarif bir uygulamasıdır. f tüm ℂ üzerinde analitik ve sınırlıysa sabittir. Kanıt: türev formülünü büyük yarıçaplı kontura uygula, |f'(z₀)| ≤ M/R → 0 elde edilir. Algebranın temel teoremi de Liouville'den türetilir: p(z) sıfır olmayan bir polinom olsun. Eğer p(z) ≠ 0 ise 1/p(z) tüm ℂ'de analitiktir ve p → ∞ iken 1/p → 0 olduğundan sınırlıdır; Liouville ile sabit olur, bu çelişki sıfır noktasının varlığını kanıtlar. Cauchy integral formülü türevler formülü, fonksiyonların tekillik tiplerini anlamak için de araçtır. Mertebe n'li kutup için f(z) = Σ aₖ(z−z₀)^k seri açılımındaki a_{-1} terimi (rezidü) tam olarak bu formülle hesaplanır.